强烈推荐大家来一壶清茶or大杯咖啡，阅读下这篇有关缪子反常磁矩的长文，从量子电动力学到量子色动力学的发展娓娓道来：缪子反常磁矩为什么重要？理论预言的关键实验输入值R是什么？北京正负电子对撞机对这个关键值的贡献将有何期待？为什么将格点量子色动力学计算比作是计算机上的虚拟实验室？在了解缪子反常磁矩的格点计算后，会理解为什么轰动高能物理学界的缪子反常磁矩理论和实验误差仅仅算是新物理的魅影。大道至简，其行惟艰。

撰文

冯旭、靳路昶、刘朝峰

编辑｜花明、无虑

01g-2的历史意义——奠定量子电动力学的基石

安培定义磁矩

早在年，法国物理学家安培(A.Ampère)通过实验发现，载流线圈在磁场中会像一个小磁铁一样转动起来。这种规律被称为安培定律。物理学上，把电流强度与电流回路面积的乘积定义为磁矩的大小。磁矩越大，载流导线所感受的磁场力就越显著。

图1：(左)法国物理学家安培(年-年)；(中)载流线圈具有磁性；(右)电子做环形运动。

轨道磁矩和内禀磁矩

图2：J．Schwinger（年诺贝尔奖得主）与其墓碑上电子反常磁矩公式，图片源自网络

理论和实验值能符合到10位有效数字的精度。这样高精度的匹配，奠定了量子电动力学在现代物理学中的绝对江湖地位。施温格、朝永振一郎、费曼(R.Feynman)也因为建立量子电动力学，获得年的诺贝尔物理学奖。

图3：朝永振一郎(左)、施温格(中)、费曼(右)因建立量子电动力学，获得年诺贝尔物理学奖。图片源自网络

02三代轻子的同与不同

三代轻子：电子、缪子和陶子

图4：美国物理学家、诺贝尔奖获得者拉比(I.I.Rabi)图片源自网络

人们对缪子磁矩的测量早在上世纪60年代就开始了。测量的结果也是缪子被认为是一种类似电子的粒子的一个决定性证据。之后对缪子磁矩的测量精度就如同摩尔定律般提高。缪子磁矩是目前人类测量精度最高的几个物理量之一。

为什么是缪子？

粒子物理标准模型认为三代轻子(电子、缪子、陶子)除了质量不一样，其他性质都一样。这就是所谓的轻子普适性。那么为什么缪子会从三代轻子当中脱颖而出，成为本文的主角呢？这是因为轻子反常磁矩对标准模型以外新物理的敏感程度正比于轻子质量平方。虽然人们对电子反常磁矩的测量更加精确，但由于电子太轻，对可能的未知高能相互作用不敏感，在现有精度下，电子磁矩的理论计算和实验符合得比较好。陶子虽然对于新物理最为敏感，但它实在太重了，导致寿命过于短暂，使得实验上难以对它的磁矩做精确的测量。所以缪子反常磁矩成了寻找新物理的最重要突破口。目前最新的标准模型理论预言[3]和实验测量平均值[4]也确实存在着4.2个标准差的分歧：

如同电子反常磁矩揭示了量子电动力学与狄拉克理论之间的差别，人们希望缪子反常磁矩也能够揭示出标准模型与新物理的差别。这对于我们探索宇宙的奥秘、了解未知的基本相互作用的性质，都太重要了。

缪子反常磁矩的理论计算

实验上精确测量得到的是总的缪子反常磁矩，既包括目前已知理论的贡献，也包括可能的未知相互作用的影响。为了从实验和理论的对比中捕捉到未知相互作用的蛛丝马迹，我们必须精确计算目前理论中所有的相互作用的贡献。已知的有四种基本相互作用。引力相互作用太弱，对缪子磁矩的影响可以忽略。电磁相互作用是最主要的。弱相互作用的贡献较小。这两部分的贡献都可以非常精确地得到。目前理论上计算最困难的部分就是两种强相互作用的贡献——强真空极化(hadronicvacuumpolarization,HVP)和强光子-光子散射(hadroniclight-by-lightscattering,HLbL)。那么强相互作用为什么在理论上处理起来如此棘手呢？这就不得不提到强相互作用的两种特殊性质——渐进自由和色禁闭。

图6：粒子物理标准模型(SM)给出的电磁相互作用(QED)、弱相互作用(Weak)和强相互作用(Hadronic)对缪子反常磁矩的贡献。其中理论上最大的误差来源于强真空极化(HVP)和强光子-光子散射(HLbL)的贡献。

03强相互作用与量子色动力学

强相互作用

自年卢瑟福(E.Rutherford)发现质子、年查德威克(J.Chadwick)发现中子以来，人们已经知道原子核是由核子(质子和中子)构成的。核子之间的相互作用是核弹爆炸的能量来源，其强度远超过电磁相互作用，这也是强互相作用名称的来源。

上世纪30年代，根据当时已有的一些实验结果，人们已经认识到核子之间的相互作用在距离很近的时候非常强，但是在距离稍微增加之后，很快就变得很小了。这一性质使得强相互作用力能紧紧地把核子绑在一起，构成一个很小的带正电的原子核。但是不同的原子核之间，除非它们高速碰撞到一起，否则就只有电磁相互作用所导致的排斥力了。

强相互作用的力程很短这一事实让大家猜测，传递强相互作用的粒子是有质量的。年，日本物理学家汤川秀树提出核子之间的短程相互作用由一种假想的粒子——介子来传递，介子质量大约是质子的十分之一、电子的两百倍左右。很快就有实验物理学家在宇宙射线中发现了满足这一条件的粒子——缪子。但很快证实缪子并不传递强相互作用。人们并没有气馁，继续寻找，果真年英国物理学家鲍威尔(C.Powell)又在宇宙射线中找到了一种参与强相互作用的、质量仅比缪子重一点的粒子——介子。至此，汤川的介子理论得到公认。汤川和鲍威尔也相继获得年和年的诺贝尔物理学奖。

强子

故事并没有结束，随着加速器技术的提高，实验物理学家在加速器对撞的产物中发现了一个又一个参与强相互作用的粒子。大家把这些粒子，包括质子、中子和介子在内，统称为强子。

新粒子的数量不断增加，人们渐渐认识到这些粒子不应该是基本的。通过对大量强子性质的研究，物理学家认为强子也有它们自己的组成部分。年，盖尔曼(M.Gell-Mann)等人把强子的基本组分命名为夸克，并且按照夸克的构成形式来归类强子。例如质子和中子，似乎就可以看作由三个夸克构成。π介子等是由两个夸克组成。

当时的物理学界对夸克的本质有争议，有人认为夸克是物理实体，也有人(包括盖尔曼本人)认为这只是一种抽象概念。同样在年，格林伯格(O.Greenberg)引入色荷的概念。如同带电荷的电子和质子通过电磁相互作用结合成氢原子，带色荷的夸克也可以通过强相互作用结合成质子、中子等强子。色荷的数目是3个，可以对应于日常生活中的红、绿、蓝三原色。三原色叠加在一起得到白色，恰好也可以对应于带三种色荷的夸克组合在一起，构成色中性的质子和中子。年，斯坦福直线加速中心从深度非弹实验中发现核子内部具有点状物，但当时的物理学家把这些物体叫做部分子。深度非弹实验是一种间接的观测，带单个色荷的夸克迄今还不能在实验中被直接分离出来。人们把这种情况称之为色禁闭(也称夸克禁闭)。色禁闭的性质给人们深入研究核子内部结构造成了极大的困难。我国科学家正在积极推进的极化电子离子对撞机(EicC)通过高速电子撞击离子，可以深度解析核子以及原子核的内部结构。[6]

图7：夸克禁闭——实验上无法分离出带单个色荷的夸克。人们逐渐认识到可用量子场论来描写相互作用，比如用量子电动力学描写电磁相互作用。在量子电动力学中，传递电磁相互作用的媒介粒子——光子本身并不带电，不会发生自相互作用。量子色动力学描写强相互作用，夸克之间通过交换媒介粒子——胶子来发生强相互作用。与量子电动力学不同的地方在于胶子本身带有色荷，会发生自相互作用。这使得量子色动力学表现出与量子电动力学截然不同的特性。

年，美国物理学家格罗斯(D.Gross)、波利茨(H.Politzer)和威尔茨克(F.Wilczek)发现量子色动力学具有渐进自由的性质，即相互作用强度会随着对撞粒子能量增加而减少。而这一点，正好和当时的强子对撞实验得到的结果一致！后来格罗斯等三人也因为发现渐进自由获得年的诺贝尔物理学奖。

图8：格罗斯(左)、波利茨(中)、威尔茨克(右)因为发现强相互作用理论具有渐进自由的性质，获得年的诺贝尔物理学奖。图片源自网络

04用实验结果来进行理论预告

重要的R值

图10：国家大科学装置——北京正负电子对撞机鸟瞰图。

05从第一性原理出发进行理论预言

格点计算

虽然微扰论没办法有效地处理低能区的强相互作用，但是借助超级计算机，科学家依然有办法直接从量子色动力学第一性原理出发，对低能强相互作用进行精确的预言。这要归功于美国物理学家、诺贝尔奖得主威尔逊(K.Wilson)在年给出的量子场论的非微扰定义。在定义中人们需要将看似连续的时空离散化，分成小格子。夸克场定义在小格子的顶点上，传递夸克之间相互作用的胶子场定义在联结顶点的连线上。连续的量子场论对应格子间距趋于零的极限。

图13：(左)美国物理学家、诺贝尔奖得主威尔逊于年创立格点场论。(右)在格点量子场论中，夸克场定义在小格子的顶点上(红点表示)，胶子场定义在联结顶点的连线上(绿线表示)，格点之间的距离不为零。

格点量子色动力学计算与路径积分

格点量子色动力学计算是在费曼路径积分量子化的框架下实现的。这一框架是对经典力学中最小作用量原理的推广。对于现代物理学而言，作用量的概念已遍及电磁学、狭义和广义相对论、粒子物理学等众多分支，而不仅仅停留在力学。量子色动力学也可以用作用量来描述。

在经典世界中，最小作用量原理告诉我们：粒子运动的真实路径，是使作用量取极小值的那条路径。而在量子的世界中，粒子运动时如同使用了分身术一般，采取了所有可能的路径。只是粒子从不同的路径走，概率不一样；概率最大的那条路径，对应的依然是作用量最小的路径。这就是费曼路径积分的思想，听起来貌似不可思议，却是量子力学的关键洞见。它告诉我们，粒子在演化过程中会经历所有可能的路径，只不过经过不同路径的概率不同，具有随机性。但由于这个概率完全由作用量决定，因此粒子从初始状态演化到最终状态所产生的任何物理可观测效果，依然具有确定性。

图14：在经典世界中，篮球的运动轨迹遵循最小作用量原理(由红线描述)。在量子世界中，微观粒子具有波动性，它的演化过程可以尝试各种路径。

计算机上的虚拟实验室

从研究手段上看，格点量子色动力学是实验物理、理论物理和计算物理这三架马车后两架的结合体。它一方面要借助超级计算机来实现物理目标的精确计算；另一方面，人们也需要对考察的物理体系展开深入的理论研究，才能设计出最佳的计算方案。

我们也可以把格点量子色动力学与之前提到的高能实验放到一起，会发现它们很有几分相似的地方。首先，它们都依赖基础设施，高能实验需要加速器的助力，而格点计算利用的是超级计算机。其次，在研究对象的产生方面，高能实验直接通过粒子对撞，从真空中产生新的粒子和各种事例。这里所谓的“真空”并非空无一物，它切实包含了现实世界中各种相互作用的信息，只是所有粒子都处于基态而已。对于格点量子色动力学来讲，计算机并不知道何为强相互作用，当人们利用计算机进行蒙特卡洛模拟来得到规范场组态的时候，实际上是在制备一个量子色动力学的真空。最后，实验通过探测器来选择感兴趣的事例进行研究，而格点则是通过构建具有确定量子数的关联函数来提取物理信息。由于以上几方面的相似性，也有人把格点量子色动力学形象比作是超级计算机上的虚拟实验室。

缪子反常磁矩的格点计算回到缪子反常磁矩，格点计算目前已经得到了关于缪子反常磁矩的两种强相互作用贡献的大小，但精度仍然低于实验的输入。年理论白皮书平均了多个格点组的计算结果，最后给出强真空极化贡献的精度是2.6%。年，BMW格点组给出了目前唯一一个误差小于1%的计算结果[9]。要达到甚至超过0.6%的实验输入精度，需要格点方面的专家对计算的精益求精，并没有捷径。

在1%甚至更高的精度下，带电夸克造成的电磁修正就成为不可忽视的因素。同样的，上夸克、下夸克质量的细小差别带来的影响也必须被考虑到格点计算中去。此外，还要根据物理系统的特点来设计优化计算方案以减小统计误差，并且采用多个不同格距、不同尺寸的格点系统来进行连续极限和无穷体积外推。所有的这些努力，都为了推动理论预言值往更高的精度迈进。

正如国际上由粒子物理学的专家组成了粒子数据组(ParticleDataGroup,PDG)对实验数据进行评估，把平均以后的结果以《粒子物理回顾》(Reviewofparticlephysics)的形式发表，格点量子色动力学方面也由专家组成了味物理格点平均组(FlavorLatticeAveragingGroup,FLAG)，对格点计算得到的高精度味物理方面的结果进行评估，并以FLAGreview的形式发表。像前面提到的衰变常数、形状因子和强相互作用耦合常数的最新格点结果，都可以在FLAGreview中查到。而缪子反常磁矩方面的评估和平均工作，也由格点量子色动力学、微扰场论、唯象学以及实验方面的专家组成的Muong-2TheoryInitiative工作组来完成。

之前提到的理论白皮书，就是由TheoryInitiative发布。值得注意的是，BMW合作组的结果比目前理论白皮书中通过R值测量方法得到的结果更大。如果采用BMW合作组的结果，那么标准模型理论预言和费米实验室的最新测量结果的偏差会相应减小。这一结果在各个格点组引起了极大的

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